jueves, febrero 02, 2006

Formula Cuadrática


Hoy escribiré sobre algo sencillo, la formula cuadrática y su demostración. La razón es muy sencilla, me causa placer demostrar lo demostrado.

Hay modos de hacerlo y otros por ser propuestos. Pero por ahora me conformaré con un método sencillo que es usado para factorizar la ecuación cuadrática. Para empezar tenemos la ecuación cuadratica con coefiecientes a, b y c:



Dividiendo entre a en los dos lados de la formula:





Despejando de la siguiente manera:



El siguiente paso es completar para tener un trinomio cuadrado perfecto, sumando el mismo termino a los dos lados de la ecuación:





Sacando raiz cuadrada a ambos lados:



Despejando x y simplificando:





Terminamos, reto al ocasional lector a agregar nuevos modos de demostrar, se vale inventar nuevo método.

6 comentarios:

Anónimo dijo...

saludos para los docentes y administrativos de la ENIM

monica dijo...

hola soy Mónica, estudiante, tengo una duda respecto a la formula cuadratica, por que la exprecion b^2/4a^2??. espero me puedan responder, gracias. saludos

Anónimo dijo...

Tu formula esta mal cuando completas el trinomia al cuadrado perfecto (x + b/2a)^2 no da x^2 + (b/a)x + (b^2/4a^2) da x^2 + (b/2a)x + (b^2/4a^2) asi que tu demostracion esta mal.

José dijo...

Supongamos que tenemos las letras a y b. Entonces al elevar al cuadrado la suma de las mismas queda:

{u+v)^2=u^2+2uv+v^2

El lado derecho de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto y cumple las siguientes condiciones:

1. El primer y tercer termino están elevados al cuadrado

2. El segundo termino es el doble del producto de u y v, es decir igual a 2uv.

En la ecuación de la demostración completar el trinomio cuadrado perfecto, significa buscar un numero que al sumarlo a x^2+(b/a)x se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, entonces en este caso en el trinomio cuadrado perfecto de la forma:

u^2+2uv+v^2

u=x y para encontrar v tomamos en cuenta que:

2uv=(b/a)x=(b/a)u

Despejando queda:

v=(b/2a)

Al elevarlo al cuadrado queda:

v^2=(b^2)/(4a^2)

Que viene siendo la expresión que estamos buscando.

José dijo...

Anónimo el trinomio cuadrado perfecto es como sigue:

(u+v)^2=u^2+2uv+v^2

por lo tanto si u=x y v=b/2a

entonces 2uv=2(x)(b/2a)

Simplificando se elimina el 2 y queda:

(b/a)x

Por lo tanto lo que dices no es correcto ya que no duplicaste uv. Aun así agradezco tu comentario.

José dijo...

Monica:

Al sumar b^2/4a^2 a ambos lados de la igualdad, lo que estás haciendo es completar un trinomio cuadrado perfecto y de esa manera al factorizarlo quedará como una expresión de la forma (u+v)^2, en la que u=x y v=b/2a.